Étude d'une équation

Dans cet exercice, on se propose de résoudre l'équation  \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5\)  de deux méthodes différentes.

Partie 1 - Résolution par un changement de variable
1. Montrer que résoudre l'équation \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5\) équivaut à résoudre l'équation  \(x^4 - 5x^2 + 1 = 0\) .
2. En effectuant le changement de variable `t=x^2` , résoudre sur \(\mathbb R\) l'équation \(t^2 - 5t + 1 = 0\) .
3. En déduire les solutions de l'équation  \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5\) .

Partie 2 - Résolution par factorisation
1. Montrer que résoudre l'équation \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5\) est équivalent à résoudre l'équation \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = 7\) .
2. En déduire les solutions de l'équation  \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5\) .

Partie 3 - Des considérations sur les solutions
Dans cette partie, on démontrera des résultats concernant les propriétés des solutions de l'équation   \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5\) . On vérifiera que les solutions trouvées dans les parties 1 et 2 ont ces propriétés.

Remarque  
En mathématiques, ce travail est très souvent préliminaire à la résolution et permet de se rendre compte de la forme des solutions d'une équation.

Soit \(a\) un nombre réel.
1. Montrer que si  \(a\)  est solution de l'équation, alors  \(-a\)  l'est aussi.
2. Montrer que si  \(a\)  est solution de l'équation, alors  \(\dfrac{1}{a}\)  l'est aussi.
3. Vérifier que les solutions trouvées dans les parties 1 et 2 satisfont à ces propriétés.